WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Lineaire algebra

Kwadratische vorm

Gegeven is de volgende kwadratische vorm:

$q(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2+x_3^2+x_4^2+2x_2x_3$.

(a) Is deze kwadratische vorm positief (semi-)definiet, negatief (semi-)definiet of indefiniet? Leg kort uit.
(b) Zoek alle vectoren w⃗ waarvoor q(w⃗) = 0. Leg uit waarom je ze allemaal hebt gevonden.
kan iemand me helpen met dze vraag op te lossen? ik weet niet waar te beginnen

patron
14-1-2024

Antwoord

Het gaat om deze:
$$q(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2+x_3^2+x_4^2+2x_2x_3
$$a) door de losse $x_2$ kun je $q(0,1,0,0)=1$ en $q(0,-1,0,0)=-1$ krijgen; de vorm is dus indefiniet (lees de definitie, en probeer eens wat punten in te vullen).
b) Je kunt kwadraat afsplitsen:
$$q(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2+x_3^2+x_4^2+2x_2x_3 = x_1^2+x_4^2+(x_3+x_2)^2-(x_2-\tfrac12)^2+\frac14
$$Dat geeft $q(x_1,x_2,x_3,x_4)=0$, een soort van tweebladige hyperboloïde in de vierdimensionale ruimte.

Of heb je een tikfout gemaakt en gaat het om deze:
$$q(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+2x_2x_3
$$Daar staat $q(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+(x_2+x_3)^2+x_4^2$. Dat is een som van kwadraten en als je je definities goed leest kom je er zelf wel uit.

kphart
14-1-2024

Deelruimtes en vectorruimtes

In de volgende vraag moet je laten zien dat de inclusies gelden, ik kom alleen niet uit hoe ik laat zien dat de eerste R in l^2 zit?
Lana
18-1-2024

Antwoord

Zie ook deze vraag voor een nauwkeurigere beschrijving van $\mathbb{R}_0^\infty$.
Als $x\in\mathbb{R}_0^\infty$ zit is er een $N$ met $x_n=0$ voor $n\ge N$. Dan volgt ook dat voor $n\ge N$ geldt dat $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_N^2$.
Dus $\lim_{n\to\infty}x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$ is gelijk aan ... ?
kphart
18-1-2024

Vectorruimte

Wat is het verschil tussen "De vectorruimte van alle veeltermen
van graad 2 of minder is een vectorruimte" en "De verzameling tweedegraads polynomen is geen vectorruimte", ik heb het bewijs een paar keer bekeken maar ik begrijp niet waarom de een wel een vectorruimte is en de ander niet.
Louis
22-1-2024

Antwoord

De som van twee tweedegraadspolynomen is niet noodzakelijk weer tweedegraads: bijvoorbeeld $(x^2+2x+1)+(-x^2+3x+2)=5x+3$ is eerstegraads.
De verzameling $T$ van tweedegraadspolynomen voldoet dus niet aan de eis "als $p,q\in T$ dan $p+q\in T$", en is daarmee geen deel(vector)ruimte.

Ook zie het nulpolynoom niet in $T$ en het nul polynoom zit in elke deel(vector)ruimte.

Kortom: $T$ voldoet niet aan alle eisen.

De verzameling $P_2$ van alle polynomen van graad $2$ of minder voldoet wel aan de deelruimte-eisen; dat staat ongetwijfeld netjes uitgelegd in die bewijzen die je bekeken hebt.

kphart
22-1-2024

Waar of vals vectorvelden variëteit

Beste

Ik zit vast aan de volgende waar of vals vraag: Zij M een gladde variëteit, f een gladde functie op M, en X een vectorveld op M zodat X(f) niet nul is voor elke punt van M. Indien M compact is kan er zo een f en X bestaan?

Zou u mij op de juiste weg willen zetten. Alvast bedankt!
Rafik
25-1-2024

Antwoord

Zoals deze nu gesteld is is de vraag niet te beantwoorden. Zo te zien is $X$ een functie van $M$ naar een macht van $\mathbb{R}$, waarschijnlijk $\mathbb{R}^n$ met $n$ de dimensi van $M$; of is het een functie die bij elke $x\in M$ een vector uit de bijbehorende raakruimte neemt?
Verder wordt over $f$ niets gezegd, is $f$ een functie van $M$ naar $\mathbb{R}$ misschien?

Hoe dan ook de uitdrukking $X(f)$ suggereert dat $f$ in $X$ wordt ingevuld, maar $X$ heeft als domein $M$, niet een verzameling functies.

Wat was de juiste formulering van de vraag?
kphart
30-1-2024

Matrices

Hallo
           0  1  a
Matrix A = 0  0  -a
           0  0  1 
Welk getal staat op de 2e rij, derde kolom van de matrix A²⁵?

A) -a
B) a
C) a²⁴
D) -a²⁵

Kan iemand uitleggen waarom bij deze oefening het correcte antwoord A is en niet D?

Alvast heel erg bedankt!

Lara
31-3-2024

Antwoord

Bereken A² en A³. Wat valt je op? Wat zou er gebeuren als je hier mee doorgaat?
Lukt het dan?
WvR
1-4-2024

Punten op een rechte in R³

Hallo

Hoe kan je controleren of 3 punten (in R³, bv. (3,0,2), (0,4,0) en (6,-2,5)) op één rechte liggen?

Met vriendelijke groeten
Lara
31-3-2024

Antwoord

Stel een vectorvoorstelling op voor de rechte door de eerste twee punten en controleer of het derde punt hieraan voldoet. Zou dat lukken?
Laat anders even zien waar het misloopt?
WvR
31-3-2024

Vergelijkingssysteem met 3 variabelen oplossen

Ik heb een vraag over de volgende oefening:

4x+5y=32-6z
2x-3y+5z=11
y+4x-6z=-12

Ik kom telkens uit op y=-2,55 x=4,4 z=4,51 maar dit is fout.
Alvast bedankt voor de hulp!
Y
19-4-2024

Antwoord

We kunnen 's een poging doen!

4x+5y=32-6z
2x-3y+5z=11
y+4x-6z=-12

Neem (1)-2·(2). Je krijgt dan:

4x+5y=32-6z
4x-6y+10z=22

11y-10z=10-6z
11y-4z=10 (4)

Neem (1)-(3). Je krijgt

4x+5y=32-6z
y+4x-6z=-12

4y+6z=44-6z
4y+12z=44
y+3z=11 (5)

Neem (4)-11(5). Je krijgt:

11y-4z=10
11y+33z=121
-37z=-111
z=3

...en dan kom je er wel...

Helpt dat?

Maar er zijn natuurlijk meer wegen die naar Rome leiden:
4. stelsels en matrices
Dat kan natuurlijk ook!
WvR
19-4-2024